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数学史中的数学思想方法与数学教育研究

摘要:从数学史的角度概述了数学发展所经历的三大危机和克服危机所产生的成果对数学分析中函数极限化归三大经典数学思想方法进行归类和探源启发人们从事数学教育培育数学人才需要从培养人的思维习惯做起

关键词:数学思想;方法;数学危机;数学教育

一部数学史就是一部人类科学技术发展史也是一部人类文明进步史每一次数学的重大进步都标志着人类社会文明的发展从欧式几何的形成到微积分到现代数学再到近代数学从数学的三大危机到每次危机后的勃勃生机无论哪个时空的数学波动都与其所处时空的科学技术政治经济社会的进步和震荡同步感应从数学的产生到实数公理化从代数学几何学的形成到数形统一从博彩的娱乐到概率统计学原理从微积分的发展到物理三大定律从天文学到空间数学从逻辑学到量子纠缠从二位进制到计算机产生和应用从几?#20301;?#22270;到机械工程从微分方程到生命科学等无一不是经典故事近现代生产技术军事?#25945;?#31185;学乃至核科学没有哪一项人类科学技术的发现发明没有数学的身影也没有哪一项领先的工具不是数学的应用比如当代使用最为广泛的芯片技术没有先进的算法跟进可能实现吗?又如高大上的航空?#25945;?#31185;?#27982;?#26377;轨迹运算同步可能成功吗?量子计算机的生产和通讯技术重大进步没有数学计算的同步跟进和算法的优势体现都是难以实现的[1-4]

数学体系繁杂却自成一体有其天然的严谨性完?#24863;裕?#22914;同网络疏而不漏现代数学分支很多边缘学科发展很快各领域应用广泛性超越了时?#31449;?#38480;如计算机技术网络信息技术控制论规划论等特别是量子技术的发展预示一场前所?#20174;?#30340;人类科技的变革体现了人类社会未来发展的不可测性[5-6]

1数学发展历程的三大危机及其成果

1.1第一次数学危机及其成果

在公元前500年左右因为发现了不可通约性而产生了数学的第一次危机打破了古希腊以毕达哥拉斯为代表的唯心主义学派王国导致这一危机产生的经典故事是勾股定理被证明结果证明几何学的某些真理与算术无关由此建立?#24605;?#20309;学体系产生了欧几里得?#37117;?#20309;原本的公理体系与亚里士多德的逻辑体系经过两千多年到18世纪高斯希尔伯特罗巴切夫斯基波耶等大师们通过选取与平行公设相矛盾的其他公设建立了非欧几?#21361;?#24418;成了现代的几何公理体系[7-8]

1.2第二次数学危机及其成果

第二次数学危机是在17世纪至18世纪因为无限小量的产生即极限的严格化如瞬时速度s/t当t趋向零时的值t是零又不是零无穷小究竟是不是零的问题引起极大争论经过半个多世纪的努力经波尔查诺阿贝尔柯西狄里赫利威尔斯特拉斯戴德金康托尔等一大批数学家的努力建立了通用的-的极限连续定义同时将导数积分等概念严格地定义在极限基础上从而克服了危机建立了现代数学分析的基本体系从而有了实数的公理体系才有了20世纪的数学基础[9-12]

1.3第三次数学危机与及其成果

在第二次数学危机中基本上解决了数学的基础问题极大地发展?#24605;?#38480;理论与应用数学家们构建并实践了包括数理逻辑在内的多门学科同时大量地使用数学符号表达数学的运算和逻辑推理简化了数学表达式极大地推动了数理逻辑学的发展随着逻辑学快速发展与应用19世纪末至20世?#32479;?#20986;现了一系?#26032;?#36753;悖论如罗素悖论震动了整个数学界产生了第三次数学危机这次危机几乎动摇了数学的公理体系经众多数学家的努力数理逻辑终于完善至20世纪数学的公理体系趋于完备数学基础趋于成熟各种数学分支迅猛发展其应用理论在社会各领域的广泛应用又极大地反作用于数学的进步如计算机网络信息技术既依赖于算法又推动着算法的进步从而促进?#24605;?#31639;数学与信息技术互为进步的格局产生了超算有限元理论等各学科的进步推动着规划论运筹学的构建与应用空间科学的建立又推动了航空?#25945;?#25216;术的进步数学成为推动科学技术进步的强力工具从而极大地提高了科技生产力推动人类社会文明的进步

从公元前2000年左右的巴比伦数学到欧式几何流行于欧亚大陆从极限思想到微积分的产生数学分析的完整到计算机的产生到量子技术的应用在漫长而艰难的4000多年历程中数学在人类社会进步的每一个阶梯上都有极其重大的业绩仅从数学的三次危机来概述数学发展的三次质的飞跃只是以孔窥大以一斑而概全貌起抛砖引玉之功效而已[7-813-14]

2数学史中包含的主要数学思想与方法

数学的发展历程长有4000余年历史几乎跨越整个人类发展的时空度其内容的广度与深度是难以测量的包含的数学思想与方法是多种多样的但其主要的经典有函数思想极限思想化归思想三种重要的数学思想用这三种思想来解决数学问题的方法称之为函数方法极限方法化归方法是解决数学问题的三个重要工具

2.1数学中的函数思想方法

函数是数学的一个常?#20204;?#24191;泛应用于其他学科的重要概念其意义?#23545;?#36229;出了数学界经典的数学分析的主要研究对象就是函数函数既是初等数学的主体也是高等数学的核心内容函数思想的建立使常量数学成就了变量数学使数学用上了辩证法物理化学经济军事等多学科与数学结下了不解之缘直至社会军事等领域亦是如此:物体冷却镭的衰变树木的生长人口的增长?#23454;x?#23427;们的具体意义不一定相同?#35789;?#24212;于同一数学模型:

公式

这个数学模型表明当?#21147;希?#19968;定时上述不同意义的问题抽象成同一关于时间(周期)t的函数

函数思想的运用让许多复杂问题有了统一的处理方式正如数学家F克莱因(FelixKlein)所说教育?#20197;?#25968;学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考[7-9]

2.2数学中的极限思想方法

研究函数的一个极重要工具就是极限极限在现代数学中处处出现是许多数学概念赖以建立的基础?#22836;?#26512;问题解决问题的重要工具极限思想贯穿于整个数学的始终它使数学真正成为了在各领域广泛应用的科学从极限思想发展的历程看大约经历了四个主要阶段:一是萌芽时期我国庄子说一尺之锤日取其半万世不竭?#20445;?#21016;徽建立的割圆术?#20445;?#21476;希腊时期?#33539;?#20811;斯所构建的穷竭法等都是这个阶段的极限思想代表;牛顿莱布尼兹等数学家为代表创立的微积分对极限的研究成果的应用极大地发展?#24605;?#38480;思想这一阶段为极限的发展阶段;由于牛顿莱布尼兹对极限的叙述严密性不够产生了一系列不能自圆其说的矛盾如级数的收敛和发散应用过程中产生的悖论和不同意见的争论等这一时期称之为极限的争论阶段;严密的极限思想是从波莱诺(Bolzano)柯西(Cauchy)阿贝尔(Abel)和迪里克莱(Dirichlet)的工作开?#36857;?#32780;由维尔斯特拉斯(Weierstrass)进一步发展整理为一门完整的学科数学分析?#20445;?#36825;一时期是十九世纪三十年代到五十年代极限概念严格化?#35789;?#29616;代数学分析中极限概念的严格化时期也是微积分学发展的一个重要的里程碑[15]正是极限思想和极限方法推动数学进步的同时广泛应用于天文地理物理化学及各工程领域强力推动了科学技术的进步和经济社会文明的发展

2.3数学中化归思想方法

数学中的化归思想有宏观与微观两方面的意义其宏观意义主要体现在数学家区别于一般科学家思维的独到之处是分析问题解决问题形成数学构想的方法论的依据;其微观意义是数学问题的解决过程是不?#31995;?#21457;现问题分析问题到归结为熟知问题或已解决问题的过程数学史上化归思想最有代表意义的作品是G波利亚在1944年发表的?#23545;?#26679;解题表这张表集中体现了化归思想在解决数学问题上的精华G波利亚提出了数学解题思维过程的四个阶段:发现问题分析问题(拟定计划)解决问题(实现计划)和回顾这四个阶段的思维本质是:理解转换实施反思在这张表中波利亚用了一系列的问题启发你?#19994;?#35299;题路径这种思维过程的核心思想就是不断变换问题连续地简化问题把数学解题变成了问题的划归过程最?#23637;?#32467;到熟悉的基本问题予以解决它的一般模式如下(图1):

图1

用化归思想解决问题的方法称为化归法又称RMI原理中学数学上有极广泛的应用如几何代数学中常用的数形结合法解方程用的消去法换元法计算中的复数法证明方式的反证法及待定系数法配方法参数法演绎法数学归纳法等解题方式都是化归方法的具体体现

数学各个分支用化归思想来处理问题的方法很多如数学分析中的换元法三角函数积分的万能替换法等与中学数学使用的化归方法解题的方式是一致的仅举2例说明:

例1.用积分和概念判定函数是否可积首先要判定积分和的极限是否存在除了少数几个函数可以这样做以外几乎很?#23547;?#21040;引入达布和把同一分割下不定积分和化归为相对?#33539;?#30340;达布和建立了可积准则?#27599;?#31215;准则来判定函数的可积性则容易多了

例2.无穷多个数的求和是没有办法解决的但把无穷多个数求和化归为有限个数的极限求和则顺畅很多并为解决数项级数的敛散性问题提供了帮助从而有了判定数项级数敛散性的方法

数学中的化归思想方法不仅是其他数学领域中发现问题分析问题解决问题的重要思想方法其在物理学社会学等其他各领域学科中也有广泛的应用教好学好用好这一方法对培养和提高学生的数学思想和处理解决问题的思维方式水平特别是帮助一年级大学生从中学思维模式进入大学思维方式?#19994;?#20102;一个科学合理的衔接口并对?#30001;?#23398;生对中学数学的理解学好高等数学和其他课程提供一个强力的思维方法工具[16]

3数学史启迪数学思想方法教育

在数学进程中数学家对数学问题的发现解答求解过程无不体现了数学思维方式的重要性数学史上教育的成败都揭示了的一个重要的教学规律是教学的教育性即在教学过程中揭示教学知识的内在联系发现思维规律达到培养学生数学思维能力的目的

数学史对传播数学思想及方法的运用是一个潜移默化的过程体现在整个教学过程中概念的形成定理推论的证明习题的推导过程等都是体现数学思想方法的过程教师在这个过程中抓住机会教会学生在数学概念的理解与运用的基础?#29616;?#27493;形成数学思维习惯教会学生在发现问题分析问题解答问题的过程中学会数学方法与概念的运用使二者互为运用形成辩证的思维习惯[17]

一部数学史体现的是数学家的思想方法的故事大量的概念定理法则的运用都体现在教授的解题过程中教师?#24425;?#35838;程中对数学思想方法的运用会使学生在潜移默化中学会想数学用数学?#20445;?#21482;有这样学生才获得终身受益的思想方法如柯西牛顿等授课无不如此

数学方法与数学概念是数学思想的高层次的具体表现定义的表述体系的严格性完?#24863;?#37117;靠老师在教学过程中体现使学生触类旁通养成解决问题的综合思维能力是数学史对实践教育的重要启示

参考文献:

[1]苑倩倩秦闯亮张?#24076;?#31561;.数学史融入高等数学教学的探究[J].高师理科学刊201737(03):77-79.

[2]林应炬.数学史融入高等数学教学的?#34892;?#36884;径研究[J].经贸实践2017(12):239.

[3]周晓晖.数学史在数学教育中的教育功能浅探[J].赤峰学院学报(自然科学版)201733(11):183-184.

[4]黄祖达周启元.数学文化渗入到高等数学课堂的探究与实践[J].科教导刊2017(32):46-47.

[5]曾庆茂郭正光周裕中等.在高等数学教学中运用数学史知识的实践与认识[J].教育教学论?#24120;?015(06):115-116.
论文发表 | 论文范文 | 0 | 2019/2/18 15:42:03 | 闫露露
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